А.Н.Коркин окончил Петербургский университет в 1858 г. В 1860 г. он защитил магистерскую диссертацию "Об определении произвольных функций в интегралах линейных уравнений с частными производными" и в 1861 г. по ходатайству П. Л. Чебышева был избран адъюнктом Петербургского университета по кафедре чистой математики (сделавшейся вакантной после ухода из университета В. Я. Буняковского). В период с 1862 по 1864 г. Коркин был командирован приказом по Министерству народного просвещения с научной целью за границу. Находясь в Париже и Берлине, он слушал лекции известных математиков (М. Шаля, Ж. Лиувилля, Г. Ламе, Ж. Бертрана и др.), знакомился с преподаванием и направлением научных занятий в области математики. В 1868 г. после защиты докторской диссертации "О совокупных уравнениях с частными производными первого порядка и некоторых вопросах механики" Коркин был утвержден в звании экстраординарного профессора по кафедре математики Петербургского университета, в 1873 г. - в звании ординарного, а в 1886 г. - заслуженного профессора. Одновременно он был профессором Морской академии (1864-1900).
Основные работы ученого относятся к теории интегрирования уравнений с частными производными и к теории чисел. К первой области относятся его магистерская и докторская диссертации. В теории чисел Коркин занимался главным образом теорией квадратичных форм и теорией сравнений. Совместно с Е. И. Золотаревым ему удалось решить трудную задачу о точном пределе для минимума положительных квадратичных форм с четырьмя и пятью переменными (1871-1877). А. Н. Коркин является крупнейшим представителем петербургской математической школы, учеником Чебышева и Буняковского. Будучи преподавателем Петербургского университета на протяжении почти 50 лет и Морской академии свыше 30 лет, он воспитал таких известных ученых, как Е. И. Золотарев, А. Н. Крылов, А. М. Ляпунов, А. А. Марков и др. Интересен тот факт, что в 1878 г. Коркин (как спустя 2 года профессор Д. И. Менделеев) был забаллотирован при выборах в адъюнкты Петербургской Академии наук. Представление об избрании Коркина было подписано Вице-президентом Академии Буняковским, академиками Чебышевым и Савичем, тем не менее "немецкая партия" Академии не сочла возможным его избрать.
Коркин был широко образованным человеком. Он прекрасно владел французским языком и многие свои работы и письма иностранным математикам писал по-французски. Хорошо знал он и латынь, читал в подлиннике, наряду с математическими трудами Л. Эйлера и К. Гаусса, оды Ф. Горация. Часы досуга Коркин часто посвящал астрономическим наблюдениям. Любил он и астрономические вычисления - внес ряд поправок в учебник сферической астрономии А. Н. Савича.